La forêt de Bachmakov, l’énigme maths du « Monde » n ° 29

Dans les plaines désertes de Bachmakov, de grands plans de reboisement ont été lancés. On y plante principalement deux types d’arbres, des bouleaux et des sapins, mais les ingénieurs forestiers ont établi un certain nombre de règles quant à leur répartition. A exactement un kilomètre de chaque sapin de la forêt, on doit toujours trouver le même nombre de bouleaux. Et, à exactement un kilomètre de chaque bouleau, on doit également trouver ce même nombre de sapins.
La figure ci-dessous présente une forêt de catégorie 2, c’est-à-dire pour laquelle le nombre en question est égal à 2. A ce stade, le mot « forêt » est certes un peu exagéré, puisqu’elle n’est composée que de quatre arbres disposés en losange dont le côté mesure un kilomètre. Vous pouvez effectivement observer que, de cette façon, il y a exactement deux sapins à un kilomètre de chaque bouleau et deux bouleaux à un kilomètre de chaque sapin. Les ingénieurs de Bachmakov envisagèrent dans un premier temps de recouvrir les plaines d’une multitude de tels petits losanges pour former une vaste forêt de catégorie 2. Mais le résultat fut jugé trop éclairci et il fut décidé de se pencher sur la possibilité de concevoir des forêts de catégories supérieures.
En suivant les mêmes règles, dans une forêt de catégorie 3, chaque bouleau se situe à un kilomètre d’exactement trois sapins et chaque sapin à exactement un kilomètre de trois bouleaux. Et, bien entendu, il est impossible de planter deux arbres au même endroit.
Pouvez-vous représenter la disposition des arbres d’une forêt de catégorie 3 ?
Pouvez-vous imaginer une méthode pour concevoir une forêt de Bachmakov de catégorie 4, ou 5 ou supérieure ? Combien faudra-t-il planter d’arbres au minimum pour concevoir une forêt de catégorie 10 ?
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Indice
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Solution
Si on plante deux forêts de Bachmakov de catégorie 2 identiques à un kilomètre l’une de l’autre, alors en inversant les bouleaux et les sapins d’une des deux, on obtient une forêt de Bachmakov de catégorie 3. Les arbres occupent alors les sommets d’un cube vu en perspective, comme représenté sur la figure A.
En reproduisant ce procédé avec deux forêts de catégorie 3, on en obtient une de catégorie 4, comme représenté sur la figure B. Cette figure peut être interprétée comme la représentation en perspective d’un hypercube de dimension 4.
En répétant cette construction en dédoublant à chaque fois la forêt obtenue et en la décalant d’un kilomètre dans une nouvelle direction, on peut obtenir des forêts de toute catégorie. Le nombre d’arbres est doublé à chaque étape, ainsi, une forêt de catégorie 10 comptera 210 = 1024 arbres au minimum. Il est alors possible de former une plus vaste forêt en reproduisant la disposition obtenue plusieurs fois à distance suffisante les unes des autres.
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Mickaël Launay
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